[고3 모의고사]수열의 극한01

안녕하세요! 오늘은 미적분의 시작, 수열의 극한 기출을 풀어보겠습니다.

@극한

수학2 함수의 극한에서 배우셨겠지만, 극한은 '어디로 가고 있는가' 하는 느낌이에요. 수열은 자연수를 정의역으로 하는 함수, 즉 'n번째 함수' 인데요. n번째의 극한은, 무한대로 뻗어나가겠네요.

결국 수열의 극한은, n이 무한히 커질 때 수열은 어디로 가는가. 라고 정리할 수 있겠습니다.

스포주의

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@1번 풀이

어떤 문제는 수열의 수렴 여부를 판정할 수 있는지를 묻는데요. 그만큼 어떤 수열이 수렴하는가 하는 것은 중요한 문제라고 할 수 있겠습니다. 이 문제같은 경우에는 수열의 극한값이 몇인지를 묻고 있으므로, 수렴한다는 것을 캐치할 수 있겠습니다.

f(α)=g(-α) 인 이유를 살펴볼게요. an이 α로 수렴하는 동안, f(an)은 f(α)로 수렴하겠네요.

an이 α로 수렴하면, a(n+1) 또한 α로 수렴하겠네요. an과 a(n+1)이 서로 같아졌다고 가정하면, 문제의 규칙에 의해 f(a(n+1))=g(-an) 인데요. f(a(n+1))=g(-an)은 g(-α)에 수렴함을 알 수 있겠습니다.

f(an)은 f(α)로 수렴하고, f(a(n+1))은 g(-α)에 수렴하네요. an과 a(n+1)이 같다는 가정 하에, f(α)=g(-α)임을 알 수 있겠습니다.

가정이 억지 아닌가? 생각하실 수 있는데요. 완전 똑같아질 수는 없는게 팩트인건 맞습니다. 다만 an과 a(n+1)의 격차가 0에 수렴*하므로, 차이가 거의 없어짐을 알 수 있겠습니다. 무한은 유한과는 다른 세상으로, '점점 어떻게 되어가는가' 라는 관점으로 보시면 좋을 것 같아요.

*lim n->∞ an = α, lim n->∞ a(n+1) = α.

∴ lim n->∞ {a(n+1)-an} = {lim n->∞ a(n+1)} - {lim n->∞ an} = α-α = 0

@2번 풀이

점화식을 세워볼게요. a(n+1) = an/4 + 2.

어떤 수열 bn이 있다고 해볼게요. b(n+1) = 1/4 * bn 을 만족시키면, bn은 수렴하는 수열인가요? 맞네요. bn은 등비수열이고, -1< 1/4 <=1 이니까요.

다시 an으로 돌아올게요. 위 식을 조금 변형해서, a(n+1)+k = (an+k)/4 를 만족시키는 k를 구할 수 있을텐데요. an+k = cn 이라 하면, c(n+1) = 1/4 * cn 이네요. cn은 수렴하는 수열이네요. 즉, an+k는 수렴하네요. 결국, an도 수렴함을 알 수 있겠습니다.

참고로, 수렴 여부는 문제의 마지막 줄을 보고 판정할 수도 있겠습니다. 1번 풀이 처럼요.

@3번 풀이

a(n+1) 축과, an 축으로 좌표평면을 만든 모습인데요. 한가지 덧붙여볼게요. 준비물은 영상 속 두 직선 그래프입니다. 그림을 그리면서 따라가볼게요.

문제 조건에서 a1의 위치를 정해놓지는 않았고, 0<a1<2 라는 범위만 제시했네요. a1 = 1 이라고 해볼게요. (a1, 0) 즉, (1, 0) 에서 출발이네요. 위로 올라가면 y = x/4 + 2 그래프와 만나는데요. 이 좌표는 (a1, a2) 가 되겠습니다.

(a1, a2) 에서 오른쪽으로 가면 y=x 그래프와 만나는데요. 이 좌표는 (a2, a2) 가 되겠네요.

(a2, a2) 에서 위로 올라가면 y = x/4 + 2 그래프와 만나는데요. 이 좌표는 (a2, a3) 가 되겠네요.

이 과정을 반복해보면, an이 어디에 수렴하는지 알 수 있겠습니다.

a1의 좌표를 정해놓지 않고 범위로 제시했다는 것은, a1이 범위 안의 어느 곳에서 출발하든 같은 값으로 수렴한다는 뜻이겠네요. 사실 3번 풀이를 참고하면, a1이 문제의 범위 밖 어디에서 출발하더라도 극한값은 변함이 없겠네요.

[더 보기]

>> [고2 수학]함수의 극한

>> [고1 수학]합성함수01

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