[고1 수학]합성함수01

[고1 수학]합성함수01

 

안녕하세요! 오늘은 합성함수의 기본기에 대해 알아보겠습니다. 합성함수는 식이 굉장히 짧은데도 매우 어려울 수 있고, 수능 수학 킬러문제로 출제되기 딱 좋은데요. 못이기는척 읽어보시면 되겠습니다.

 

@f(g(x))

함수가 X->Y 라면, 합성함수는 X->Y->Z 인데요. '무슨 당연한소리를...' 하지만 이 개념을 그래프로 활용할 줄 알게 되었을 때, 비로소 진정한 이시대의 합성맨이 되었다고 할 수 있겠습니다.

 

그래프 관점에서 한번 이해해볼게요. X->Y는 xy평면에 표현해요. 같은 논리로 Y->Z는 yz평면에 표현하겠죠. 이 두 평면은 y축을 공유하게 됩니다.

 

 

@f(f(x))

정말 심상치 않은 친구인데요. 7글자로 사람 미치게 하는 매력이 있어요. 이 친구는, 오늘은 쿨하게 놓아주겠습니다. f(g(x))보다 f(f(x))가 조금 더 어렵구나! 라는 느낌으로 이해하시면 좋을 것 같아요.

 

왜 그런지 한번 탐구해볼게요. f(g(x))는 안은함수와 안긴함수의 상황을 각각 다른 평면에서 이해한 후 종합했었죠. f(f(x))에서 안긴함수 f(x)는 xy평면에서 표현되는데, f(f(x)) 또한 같은 평면에서 표현될거에요. 둘다 xy평면 상에서 한꺼번에 생각해야 하기 때문에 f(f(x))가 조금 더 복잡해요.

 

 

@노트북

가장 간단한 합성함수 f(g(t))의 경우, 노트북이라고 표현하면 딱 좋을 것 같아요. tx평면과 xy평면을 x축을 매개로 연결하고있죠. 노트북을 펼친 모양과 같습니다. 노트북의 모니터평면과 키보드평면이 있다고 해볼게요. 모니터 평면에 y=f(x), 키보드 평면에 x=g(t) 그래프를 각각 그리면 되겠죠.

 

여기서 중요한 점은, 순서를 바꿔 모니터에 x=g(t)를 그리면 곤란하다는 점인데요. T->X->Y의 순서를 고려하여 최종적으로 모니터에 y축이 뜨게 하면 되겠습니다. 구하는것은 y=f(g(t)), 결국 y니까요.

 

저 멀리 달빛 사이로 토끼를 볼 수 있는데요. 뭐라고 외치는지 잘 들리지는 않지만, 입모양을 보니 "합성하지 마~~" 라고 하는 것만 같아요. 하지만 수능 수학은 호락호락하지 않은데요. 달토끼의 외침이 여러분의 시험지까지 닿기를 바랄게요.

 

 

[더 보기]

 

>> [고1 모의고사]합성함수02

>> [고등수학]그래프를 다뤄보자!