[고2 모의고사]미분02

[고2 모의고사]미분02

 

안녕하세요~! 미분 없이는 못 사는 여러분을 위해, 문제를 준비했습니다. 뭐라구요? 미분같은거 없어도 잘 살 수 있다고요? 농담도 참ㅎㅎ.. 기출문제 풀어보겠습니다~

 

 

@미분이란?

미분이란 건, 한마디로 순간포착입니다. 어떤 특정한 순간, 딱 그 순간을 관찰하는 도구인 셈인데요. 카메라로 사진을 촬영하고, 그 사진을 바라보는 것이 미분이라고 할 수 있겠습니다.

 

어제 길을 지나가다가 멍멍이를 보고, 사진을 찍었다고 해볼게요. 갤러리를 보니 추억이 샘솟네요. 얘 참 귀여웠지.... 그런데 '강아지가 사진 찍힌 그 순간에, 도대체 몇 cm/s 속력으로 꼬리를 흔들었던걸까' 라고 종종 생각하시죠? 그것이 미분입니다.

 

>>[고2 수학]미분01

 

@접선

우선 평균변화율에 대해 되짚어볼게요. 직선의 기울기를 구할 때, 직선 위의 두 점을 알면 구할 수 있는데요. A(x1, y1)와 B(x2, y2)를 지나는 직선의 방정식.. 기억나시죠? 이것이 기울기, 평균변화율 입니다.

 

'평균'의 관점으로 볼까요. 점 A와 B를 지나는 함수는 무수히 많은데요. 그래프가 어떻게 흐느적거리며 가더라도, 평균적으로는 이렇게 갈거다~ 하는 이야기겠네요.

>>[고2 수학]등차수열의 합01

 

 

y=f(x) 그래프에서 미분은, 아시겠지만 접선입니다. 순간변화율의 의미를 가지고요.

 

 

이게 무슨말이지.. f'(a)는 알겠는데..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

스포주의

 

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@상수

상황이 복잡해보일 수 있지만, '고정된 상황' 임을 캐치하시면 좋겠습니다. a가 변하고 있는 상황이 아닌, 3:1을 만족시키는 딱 그 상황을 묻고 있네요.

 

문제는 a값'들' 이라는 표현 때문에 혼란스러울 수 있다는 점인데요. a가 변하고 있을 때 쓸 수 있는 표현이기도 하고, 조건을 만족시키는 상수 a가 여러개 있는 상황일 수도 있겠습니다.

 

 

 

@풀이과정

[1]f(x) 식이 주어졌고, 접선이라는 말을 보아 f'(3)을 구할 수 있다.

[2]주어진 조건은 f'(3)과 3:1이다.

[3]f'(3)은 DB와 CD의 비 임을 이해한다.

[4]AD와 CD의 비는 f'(a)임을 이해한다.

 

만약 이 문제에서 f(x) 식만 제시하고, f'(k)=2를 만족시키는 k값들의 곱은 몇일까? 라고 물어봤으면 너무나도 쉽게 풀어냈을텐데요. 계산 자체보다는, f'(a)=2 임을 알아챌 수 있어? 라고 묻는 문제입니다.

 

 

이 문제에서 f'(x)가 이차함수니까, f'(a)=p (p는 실수) 를 만족시키는 a의 갯수는 0 또는 1 또는 2가 되겠네요. 이 갯수가 1일때의 p의 값을 q라고 하면, q는 몇일까요?

 

참고로 (q, f(q))를 f(x)의 변곡점이라고 하는데요. y=f(x) 그래프에서 x=q 근방에서 접선을 몇번 그려보면, 변곡점의 특징을 확인해 볼 수 있습니다!

 

[더 보기]

 

>>[고2 수학]dx

>>[고2 수학]적분