[수학2]미분01

[수학2]미분01

 

안녕하세요! 드디어 올것이 왔는데요. 곱게 돌려보낼 순 없겠습니다. 더 곱게 만들어서 돌려보내야 직성이 풀릴 것 같아요. 미분을 논하기 전에, dx라는 친구를 먼저 알아보면 좋을 것 같아요. 아래 링크를 스리슬쩍 염탐하시면 되겠습니다.

 

 

>>[고2 수학]dx

 

 

@사진

여러분은 팬더가 얼마나 빠른지 아시나요? 저는 잘 모르는데요. 팬더가 달리고 있는 사진을 보면, 얼마나 빠르게 달리는지 알 수 있겠네요. 사실은 알 수 없는데요. 달리고 있다 싶긴 한데, 사진만 봐서는 얼마나 빠른지 측정할 수 없겠습니다.

 

미분이라는 건, '변화율'에 관한 이야기에요. f(x)가 변하는 건 알겠는데, 얼마나 빠르게 변하고 있지? 그것이 미분의 시작입니다.

 

 

@동영상

팬더가 달리는 영상..을 구해오지는 않았습니다! 상상 속 TV로 지켜볼게요. 저 앞에 팬더들이 달리고있네요. 쪼꼬미 팬더는 느리고, 엉님 팬더는 좀 달려본 친구 같아요. 같은 시간동안 엉님 팬더가 더 많이 움직였으니, 변화율을 비교해 볼 수 있겠네요.

 

사실 미분이라는 건, '순간 변화율'에 관한 이야기에요. 토끼와 거북이 이야기 아시나요? 토끼가 더 빠르지만, 거북이가 먼저 도착했는데요. 거북이는 '평균 변화율'이 높고, 토끼는 '순간 변화율'이 높음을 알 수 있어요. 여러분은 유치원때 미분의 개념을 터득당한 셈이네요.

 

 

 

 

@dy/dx : 라이프니츠 미분

달리는 팬더의 '순간'속력을 구해볼게요. 동영상을 분석해볼건데요. 3초일 때 팬더의 속력을 구해볼게요. 영상을 0.1초동안 돌려봤더니 팬더가 무려 1cm나 이동했어요. 그렇다면 10cm/s 라는 속력을 얻어낼 수 있는데요. 0.1초를 '순간' 이라고 표현하긴 어려운데요. 구간을 줄여 0.01초 동안 돌려봤더니 1mm나 이동했네요. 마찬가지로, 0.01초 또한 '딱 그 순간'이라고 표현하기에는 너무 긴 시간이에요.

 

그렇다면 0.001초면 충분할까요? 아니면 0.0000000001초? d라는 표현을 쓰면 딱이겠네요. dy/dx 는 '딱 그 순간'의 변화율을 나타내는데요. 계산 과정이 조금 복잡할 듯 싶네요.

 

 

 

@f'(x) : 뉴턴 미분

사실, dy/dx 를 모두 일일이 계산할 필요는 없었습니다! 대신 팬더가 이동하는 거리를 함수 s(t)로 표현하면, s(t)를 미분한 결과도 t에 관한 '함수'가 돼요! 이게 수학적으로 어떤 발견인지 저는 잘 모르겠지만, 계산 과정을 획기적으로 줄여주는 방식이에요.

 

정리해볼게요.

(1)무언가 변한다. 얼마나 빠르게 변하고 있는지 궁금하다.

(2)x=3일 때 dy/dx는, 산넘고 물건너 어찌저찌 구할 수 있다. x=5, x=8 일 때도 일일이 계산하면 구할 수 있다.

(3)각각 일일이 계산할 것이 아니라, f'(x)를 구해놓으면 도함수의 함숫값으로 처리할 수 있다. f'(3), f'(8) 등.

 

(2)순간 변화율, 그리고 (3)미분계수. 이런 내용이었네요.

 

 

 

사실 저는 팬더가 달린다는 얘기는 들어본 적 없는데요. 사진이나 영상을 보면 귀엽긴 해요. 팬더랑 삼다수 한잔 걸치면서 미분에 대해 토론하는 그날이 올까요? 저 대신 여러분이 토론할 예정이니, 열심히 공부해두시길 바랍니다!

 

[더 보기]

 

>>[고2 모의고사]미분02

>>[고2 수학]적분