[고등수학]우함수, 기함수.

[고등수학]우함수, 기함수.

 

안녕하세요~. 초등학교 다니던 그 시절... 새하얀 종이에 반쪽짜리 물감나비를 그려놓고, 종이를 반으로 접으면 내가 나비인지 나비가 나인지 모르던 시절이 있었는데요. 사실 물감나비는 접힌 축에 대하여 대칭이었다는 것을 분석해낼 수 있겠습니다.

 

@대칭성

찰떡같이 알아듣는다는 말이 있는데요. A가 쿵 하면 B는 짝 나오겠습니다. 대칭성은 느낌이 조금은 다른데요. A가 쿵 하면 B도 쿵 할 때 대칭을 이룬다는 표현을 사용해요. 조금 어려운 말을 빌려보자면, '변환'을 하더라도 기존과 같을 때 대칭이라고 해요.

 

 

@우함수 : y축대칭

간단한 예를 들어볼게요. y=x^2 그래프를 그려보시면 y축 대칭임을 알 수 있는데요. y축에 대하여 대칭인 그래프를 가지는 함수를 우함수 라고 해요. 식으로는 f(-x)=f(x)일 때 우함수임을 확인할 수 있겠습니다. x의 부호를 바꿔도 함숫값이 그대로입니다.

 

짝함수의 경우에 활용도가 높은데요. 다항함수 중 짝수 차수 또는 상수로만 이루어진 함수를 짝함수라고 해요. 우함수의 정의는 f(-x)=f(x) 인데요. 짝수 차수의 경우 x^2n = (-x)^2n 입니다. 상수의 경우 그래프의 높낮이에 영향을 주며, 좌우대칭에는 영향을 미치지 않겠습니다.

 

 

@기함수 : 원점대칭

원점에 대하여 대칭 그래프를 가지는 함수를 기함수 라고 해요. y=x 그래프를 그려본다면 원점에 대해 대칭임을 알 수 있겠습니다. 식으로도 알아보면, f(-x)=-f(x)일 때 기함수임을 알 수 있겠습니다. x의 부호를 바꾸면 함숫값의 부호가 바뀌네요.

 

기함수의 정의는 f(-x)=-f(x) 인데요. 홀함수의 경우 x^(2n-1) = -{(-x)^(2n-1)} 입니다. 상수의 경우는 함수 그래프의 높낮이에 영향을 주므로 원점대칭에 영향을 끼칩니다..!

 

 

 

@활용 Point

대칭성은 A가 쿵 할때 B도 쿵 하는데요. 어떤 함수가 대칭이라는 것을 알아냈다면, B가 쿵 했다는 사실만 가지고도 A도 쿵 할거라는 것을 유추할 수 있어요.

 

예를 들어볼게요. 함수를 구간마다 정의하는 문제를 본 적이 있을텐데요. f(x)가 [0, 1] 구간에서는 g(x)고, [1, 2] 구간에서는 h(x)다. 그런데 f(x)가 x=1 직선에 대하여 대칭이다. 이런 상황에서 g(x), h(x)를 둘 다 구할 필요 없이 둘 중 하나만 구하면 대칭성을 통해 상황을 이해할 수 있겠습니다.

 

 

@출제 Point

<1>[0, 1] 구간에서의 함수 식을 보고, 대칭성을 통해 [1, 2] 구간의 상황까지도 이해할 수 있었는데요. 주기성이 있는 경우는 [0, 2] 너머 다른 구간에서의 함수 그래프까지 그려내는 케이스입니다.

 

<2>점 (3, 4) 등 원점이 아닌 점에 대해 대칭인 함수는 기함수와 연관지어 이해할 수 있는데요. 예를들어, 다항함수 f(x)가 점 (3, 4)에 대해 대칭이라면, h(x)=f(x+3)-4 인 h(x)는 기함수임을 알 수 있겠습니다. h(x)는 홀함수..!

 

 

그림자맨의 눈은 짝짝이인걸까, 점대칭인걸까. 아무튼 아련해보인다.

 

 

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