[고등수학]그래프를 다뤄보자!

[고등수학]그래프를 다뤄보자!

 

안녕하세요~! 수학은 두 얼굴을 하고 있는데요. 왼쪽은 식이고, 오른쪽은 그래프인 것 같아요. 우리는 수학을 도리도리 시켜서, 식과 그래프를 모두 활용할 수 있는데요. 식을 그래프로, 그래프를 식으로 변환하는 과정을 익혀두시면 좋을 것 같아요.

 

 

@화면

우리는 수학 시험지를 받는데요. 각자의 입맛대로 좌표평면을 그릴 수 있어요. 이 사람은 이렇게 그릴 것이고, 저 사람은 저렇게 그릴 거에요. 이 말이 무슨 말이냐..! 좌표축을 조절할 수 있다 라는 느낌으로 받으시면 좋을 것 같아요.

 

축을 옮길 수도 있고요, 줄였다 늘였다 할 수 도 있겠습니다. 저는 원점을 옮기는 것을 자주 쓰는데요. 이는 첫번째 좌표평면을 이해하기 위해 '두번째 화면'을 새롭게 빌려오는 느낌이에요. 도형에 보조선이 있다면, 시험지에는 보조화면이 있다고 할 수 있겠습니다.

 

 

@평행이동

여기에서 한가지 포인트를 잡을 수 있는데요. y=f(x) 그래프를 x축으로 1만큼, y축으로 5만큼 이동한 그래프는 y=f(x-1)+5인데, 한번 짚고 넘어갈게요.

 

(1)x축 y축을 그려 xy 평면을 만든다.

(2)y=2x 그래프를 그려본다.

(3)원점을 x축으로 1만큼, y축으로 5만큼 이동시켜 새로운 x'y' 평면을 그린다.

(4)새롭게 그려진 평면에서 y'=2x' 그래프를 그려본다.

(5)구하려는 식은 새로운 평면에 관한 것이 아닌, 기존의 xy 평면에 관한 것이다.

(6)따라서, y'=f(x')에서 y', x'을 y, x로 바꿀 것이다.

(7)x'=x+1, y'=y+5 임을 이용하여 x=x'-1, y=y'-5를 구한다.

(8)y=f(x)를 x축으로 1만큼, y축으로 5만큼 이동시킨 그래프는 y'=f(x') 즉, y-5=f(x-1)임을 알 수 있다.

 

 

 

@축소/확대

f(3x) -> f(2x). 몇 배나 늘었을까요? 3/2 배 인데요. 3배 늘리고 반으로 줄였네요. y=8^x와 y=4^x 두 식을, 축소 확대라는 관점으로 생각해볼 수 있겠습니다.

 

참고로 y=4^x와 y=3^x 두 함수의 그래프도 축소확대의 관점으로 생각할 수 있는데요. 로그를 활용하여 밑을 변환하면 가능한 이야기입니다.

 

 

@기하학적 해석

함수 식을 기하학적으로 해석하는 관점은 크게 두 가지가 있는데요. (a, f(a)), (b, f(b))에 대해 생각해볼게요.

 

(1)기울기 : f(b)-f(a) / (b-a)    or    f'(a)

(2)넓이 : |(b-a)*{f(b)-f(a)}|

 

특히 f(0)=0, f(1)>0 인 경우에 대해서도 알아볼게요.

f(1) : 기울기 = f(1)-f(0) / (1-0)

f(1) : 넓이 = {(1-0)*f(1)-f(0)}

 

 

 

 

눈에 띄는 어떤 점이든 원점으로 잡을 수 있어요. 내 시험지는 내 마음대로 쓸 수 있으니까요. 한걸음 더 나아간다면 보이는 점 뿐만 아니라, 어떤 위치든 원점으로 잡을 수 있겠습니다!

 

 

[더 보기]

 

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