[고1 수학]역함수01

[고1 수학]역함수01

 

안녕하세요!! 함수를 생각하면 머리가 아파오는데요. 역함수를 생각하면 역으로 머리가 맑아지는 기분이었으면 좋겠네요. 수능 수학 킬러문제에 출제 될만한 개념이에요. 오늘은 역함수의 기본기에 대해 다뤄보겠습니다.

 

@f-1(x)

y=f(x)가 X->Y라면 y=f-1(x)는 Y->X 인데요. 우선 y=f(x)에 대해 알아볼게요. 지난 글에서 'y라는 것이 변하는데, 그 원인은 x이고 규칙이 f다' 라고 했었는데요. 이번 포스팅에서 주목할 부분은 '규칙이 f'라는 것이에요. y=f(x)가 X - f -> Y 라면, 그 역함수는 Y - f -> X 가 되겠습니다.

 

한걸음 더 나가기 전에, 규칙 f에 대해 알아볼게요. f(x)=2x 라는 식이 있다고 할 때, f라는 규칙은 '묻고 2배로 가!' 라는 느낌으로 이해할 수 있겠죠.

 

>> [고등수학]함수

 

 

@좌표축

y=f(x)는 X - f -> Y, y=f-1(x)는 Y - f -> X 인데요. y=2x의 그래프를 그리는 과정을 뜯어볼게요.

(1)세로축은 y, 가로축은 x로 설정하여 좌표평면을 그린다.

(2)기울기가 2인 직선을 그린다.

 

그렇다면, f라는 규칙을 활용하여 이것의 역함수를 그리는 새로운 관점을 얻어볼게요. 실습시간입니다! 종이 한장 준비하시고, 진한 펜으로 그리면서 따라가볼게요.

<1>f라는 규칙을 활용하기 위해 기울기가 2인 직선을 그릴 것이다.

<2>세로축을 x, 가로축을 y로 설정하여 좌표평면을 그린다.

<3>기울기가 2인 직선을 그린다.

<4>구하려는 y를 세로축에 표현하기 위해, 종이를 뒤집어 x축이 가로로 오게끔 만든다.

<5>종이를 뒤집었을 때 보이는 그래프를 y=g(x)라 하면, 이는 y=f(x)의 역함수임을 이해한다.

 

 

 

 

@y=f(x)+1 의 역함수

이번에는, y=f(x)+1의 역함수 그래프를 그리는 과정을 알아볼게요.

 

[1]역함수가 정의되는 f(x)에 대해, y=f(x) 그림을 종이에 그려본다.

[2]종이를 뒤집어 y=f-1(x) 그래프를 확인한다.

[3]다시 종이의 앞면을 보고, y=f(x) 그래프 위에 ↑1 이라고 표시한다.

[4]종이의 뒷면을 보고, y=f-1(x) 그래프가 어느 쪽으로 1만큼 갔는지 확인한다.

 

 

@간단 요약

y=f(x)+1 그래프는 y=f(x) 그래프를 y축 방향으로 +1만큼 이동시킨 그래프인데요. '↑1'의 y=x 대칭은 '→1'이죠. 역함수는 x축 방향으로 +1만큼 이동하는 것을 알 수 있겠습니다. 결국, y=f(x)+1의 역함수는 y=f-1(x-1)이 되겠습니다.

 

이 관점에 익숙해지고 나면, 오늘 그린 종이를 수학책 위에 놓고 몇번 뒤집어보세요. 좌표평면을 뒤집어서 그릴 수 있게 되면, 책은 뒤집지 않아도 되겠죠?

 

 

?의 값을 α를 이용해 표현해보세요! (hint: y에서 출발하여 x로!)

 

수능 수학 공부하기 힘드실텐데요. 머리 식힐 겸 문제 풀어볼게요. 수학공부야 뭐 1초 후에 또 하면 되는 거니까요!(하핫)

 

[더 보기]

 

>> [고1 모의고사]역함수02

>> [고등수학]절댓값, 가우스.