[고2 모의고사]등차수열의 합02

[고2 모의고사]등차수열의 합02

 

안녕하세요!! 오늘은 등차수열의 합 끝판대장 문제를 풀어보겠습니다. 심각하게 어려운 문제는 아니고, 그 원리를 이용할 수 있는가를 묻고 있어요. 이번 포스팅을 완벽하게 정복한다면, '등차수열'에 관해서는 두려울 것이 없겠습니다.

 

@평균

등차수열의 합을 다룰 때, 평균이라는 개념을 알고 있으면 굉장히 편한데요. 평균은 '대표값'의 일종이에요. 다시말해 평균은, 무언가를 '대표하는' 값이라고 할 수 있겠습니다.

 

[1, 2, 4, 5]의 평균은 3인데요. 3은 1, 2, 4, 5를 대표하는 숫자에요. 어떻게 대표하느냐! 1+2+4+5 = 3+3+3+3. 이것이 평균이 가지는 의미입니다. 집단 구성원의 개성을 무시하는 결과를 ..

 

>> [고2 수학]등차수열의 합01

 

 

m... k... d... 메모..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

스포주의

 

↓↓

 

↓↓

 

↓↓

 

↓↓

 

↓↓

 

↓↓

 

↓↓

 

 

 

 

 

 

 

 

@상황 이해

(1)수열 {an}이 등차수열임을 문제에서 확인한다.

(2)공차가 음수인 등차수열을, 기울기가 음수인 직선으로 표현한다.

(3)등식 좌변 각 항들의 평균이 0임을 알아채고, 평균 라인을 표현한다.

(4)an이 0을 지나는 경우와 지나지 않는 경우가 나올 수 있음을 이해하고, 케이스를 나눈다.

  (4-1)수열 {an}의 항 중 0이 포함된 경우. 이를 'an이 0을 지나는 경우' 라고 표현해볼게요.

  (4-2)an이 0을 지나지 않는 경우

 

 

@문제 풀이

위 문단의 (4)에 이어서 가볼게요.

 

(4-1)an이 0을 지나는 경우

: d는 30의 약수가 되겠습니다. 첫째항이 30이고, 항 중에 0인 값이 있으니까요. 참고로 이 경우는, k가 짝수일 때 임을 알 수 있겠습니다.

 

(4-2)an이 0을 지나지 않는 경우

: k가 홀수일 때 이겠네요. d가 30의 약수가 아닌 경우에 대해 생각해볼게요. 이 경우에는, 인접한 두 항의 합이 0이 되는 경우가 있음을 이해하면 되겠습니다. 평균이 0이니까요. 한편 d가 홀수라면, 0을 기준으로 양 옆 항이 똑같이 떨어져 있을 순 없겠습니다. 예를 들어 d=7 이라고 하면, 2와 -5가 인접한 항으로 나오겠네요.

 

 

@다른 풀이

사실은 굉장히 간단한 논리로 풀어낼 수 있는데요. am + a(m+k) = 0 이라는 점을 이해한다면, 매우 손쉽게 풀어낼 수 있겠습니다.

 

정리하면, 2m+k = 60/d + 2 라는 식을 뽑을 수 있는데요. m, k, d가 각각 자연수라는 것을 신경쓰면서 헤쳐나가면 되겠습니다.

 

영상에서는 이 풀이를 제시하지는 않았는데요. 'am + a(m+k) = 0' 식을 어떻게 뽑아낼 수 있는지, 그 원리를 보여드리고 싶었기 때문이에요. 영상 속 풀이를 제대로 이해했다면, 제가 알려드리지 않았더라도 이렇게 풀어내실 수 있었을 것 같고요.

 

 

네가지 값 [-30, -10, 10, 30] 이 있다고 해볼게요. 이 값들의 평균은 0이네요. [-10, 10]의 평균은 0이네요. [-30, 30]의 평균은 0이네요.

 

[더 보기]

 

>> [고2 수학] - 변수01

>> [고2 수학] - 함수의 극한