[고3 모의고사]무한등비급수01

[고3 모의고사]무한등비급수01

 

안녕하세요!! 오늘은 무한등비급수의 기초를 다져볼건데요. 사실 이 문제는 수능 기출이라, 스포를 하지 않으려 했었는데요. 3점 문제이기도 하고, 기초를 다지기 좋기도 하여 가져왔습니다!

 

@무한등비급수?

수학1 과목에서 수열이라는 개념을 배우는데요. 이어서 수열의 합과, 그 극한인 급수를 배워요. 무한등비급수라는 건, 등비수열의 합의 극한값입니다. 공식이 굉장히 단순한데요. a/(1-r). 이게 전부입니다. 실전적으로 무한등비급수를 풀어나가는 과정에서, 초항 a와 공비 r만 파악하면 해결이라고 할 수 있겠습니다..

 

매우 간단하지만, 수능과 모의고사에 빠지지 않고 출제되는 4점 문제임을 알 수 있어요. 어렵다기보다는 시간을 뺏기지 않는 것이 포인트입니다. 유형이 정해져있다보니 풀이과정 또한 고정되어 있는 편인데요. 이 말은, 한번 제대로 익혀두면 매번 맞출 수 있음을 의미합니다!

 

 

@점화식

무한등비급수는 등비수열의 합의 극한값입니다. 이를 풀어나가기 위해, 문제의 상황에서 등비수열 구조를 파악해내면 되겠습니다. 그 키워드는 점화식인데요. 수열의 항들 사이의 관계식을 점화식이라고 해요. 대표적으로 a(n+1) - an = d 인 수열을 등차수열, a(n+1)/an = r 인 수열을 등비수열이라고 하고요.

 

 

 

xn과 x(n+1)의 관계..!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

스포주의

 

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@풀이

문제에서 An이 x축 위의 점이라고 하였는데요. 이를 토대로 An의 좌표를 (xn, 0)이라고 해볼게요. y좌표는 0으로 고정이고, x좌표만 움직이는 상황인데요. 따라서 x좌표인 xn만 고려하면 An의 y좌표는 신경쓰지 않아도 되니 사고과정이 간소화되겠습니다.

 

(1)규칙을 파악하기 위해 xn과 x(n+1)의 관계를 살펴볼 것이다.

(2)(나)의 조건에 따라 식을 세운다.

(3)xn을 n에 관한 식으로 나타낸다.

 -An (xn, 0)

 -Pn (xn, 1/xn)

 -Qn (1/xn, xn)

 -Rn (1/xn, 0)

 -A(n+1) (1 + 1/xn, 0)

 

 

@규칙성

수열은 특정 규칙에 따라 수를 나열한 것인데요. 각각의 수열은 일정한 규칙을 담고 있어요. An과 A(n+1)의 관계를 밝혀냈다면, 이 관계는 항상 일정해요. A2와 A3의 관계도 위 식을 따르고요. A6과 A7의 관계도 위 식을 따라요. A2와 A3이든 A8과 A9든, 밝혀내기 편한 하나의 관계식만 밝혀낸다면 나머지 항간의 관계도 알아낼 수 있겠습니다.

 

>> [고3 모의고사]규칙성02

 

 

 

 

무한등비급수 문제풀이 구조 예고편을 간단하게 남겨보자면 다음과 같아요. 좌표를 통해 길이의 관한 식을 구하고, 이를 토대로 넓이를 복합적으로 합하는 구조입니다. 길이는 좌표를 점과 점 사이의 거리로, 좌표를 잡아보는 것이 그 첫걸음이었습니다. 다음 시간에는 길이까지도 익혀보고, 그 이후에는 복합적인 넓이까지 나아가보겠습니다.

 

[더 보기]

 

>> [고3 모의고사]무한등비급수02

>> [고2 수학]함수의 극한