[기하]벡터의 성분

[기하]벡터의 성분

 

안녕하세요~~ 오늘은 기하의 꽃, 벡터에 대해 알아보겠습니다. 예전에는 과목 이름이 '기하와 벡터' 였는데요. 좌표평면에서 벡터를 이용하는 악랄한 문제들이 여러분을 기다리고 있어요. 다행히 공간벡터는 교육과정에서 빠졌으니, 침착하게 평면벡터에 대해 알아보겠습니다.

 

@벡터

1차원인 직선부터 출발해볼까요. 절댓값을 활용하면, 수직선에 크기를 나타낼 수 있습니다. 부호까지 붙여놓으면 크기와 방향까지 나타낼 수 있겠네요.

 

2차원 평면도 볼게요. 두 수직선이 한 점에서 만나면 평면을 만드는데요. 피타고라스의 정리로 크기를 구할 수 있고, 기울기로 방향을 결정할 수 있겠습니다.

 

우리가 살고있는 3차원 공간은 어떨까요? 집에서 달님까지 가는 방향을 수학적으로 어떻게 표현할 수 있을까요. 이 질문이 벡터의 시초가 아닐까 싶습니다.

 

참고로, 벡터는 차원의 개념적 확장에도 유용한 도구입니다. 4차원이란, 3차원 공간이 한 축을 따라서 움직이는 거에요. 영화 <인터스텔라>에서, 공간 자체가 시간축을 따라 움직이는 것처럼요.

 

 

@벡터의 연산

3차원 공간에서 쓰려고 만들었든 아니든간에, 벡터는 평면에서도 활용 가능한데요. 벡터가 그 자체로만 존재할 뿐이라면, 손쉽게 배울 수 있겠습니다. 하지만 기하는 호락호락하지 않은데요. 벡터는 합, 차, 실수배 등 여러 연산이 가능해요.

 

합할때는 평행사변형을, 뺄때는 삼각형 또는 평행사변형을 그렸던 것 같아요.

 

 

 

@위치벡터

시점이 원점인 벡터를 위치벡터라고 하는데요. 시점을 원점으로 고정해놓으면, 종점의 '위치'에 따라 벡터가 결정되므로 이를 위치벡터라고 불러요.

 

"이 위치벡터의 종점은 여기야." 라는 말을 들었다면, '아하! 이런 벡터를 말하는구나!' 라고 이해할 수 있겠습니다. 크기와 방향이 같은 모든 벡터들은, 저마다의 자리에 존재할 수 있는데요. 위치벡터를 기준으로 삼으면 좋겠네요. 변수를 하나 줄이는 셈이에요.

 

 

@벡터의 성분

중학교 다니던 시절을 돌이켜보면, 아름다웠던 추억들이 있는데요. 라떼는 점의 이동, 대칭 등을 배웠더랬습니다. 오늘은 벡터의 성분을 배우고 있는데요. 벡터를 '좌표'에 대응시킴으로써, 우리는 벡터의 연산을 좌표의 연산으로 이해할 수 있게 되었습니다.

 

물리 시험지를 보면, 철수가 수평면을 따라 짐을 끌고가는 경우가 있는데요. 지면과 평행하게 힘을 주는 것이 아닌, 대각선으로 힘을 가하여 끌고가요. 이 힘은 벡터로 표현할 수 있는데요. 이 벡터의 성분을 (a, b) 라 하면, a가 중요한 포인트임을 알 수 있겠습니다. 마찰력을 무시한다는 가정이 없다면, b도 중요해지겠네요.

 

 

날씨가 춥습니달. 옷 챙겨입고 다니시기 바랍니달.

공간벡터의 성분도 마찬가지로 이해할 수 있는데요. z축이 늘었으니, z축 좌표값을 추가로 부여해주면 되겠네요. 지금 제가 저 달까지 벡터의 성분를 구한다면, 눈대중으로 (3, 4, 23)쯤..? 어림없는 소리였는데요. 공간벡터의 성분은 (x1, y1, z1) 처럼 표기하시면 되겠습니다.

 

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