[확률과 통계]같은것이 있는 순열

[확률과 통계]같은것이 있는 순열

 

안녕하세요~! 경우의 수가 헷갈리는 이유는 '구분' 여부 때문인데요. 중복이 있는지 없는지, 순서를 고려하는지 아닌지 하는 것들이 조금 어렵게 느껴질 수 있어요. 문제를 풀어보면서 알아볼게요!

 

@nPr

서로 다른 n개에서 r개를 뽑아 일렬로 나열하는 경우의 수. 포인트로 볼만한 것이 두 가지 있는데요.

 

(1)나열한다는 것, 즉 순서를 고려한다는 것. (↔조합)

(2)n개가 모두 다르다는 것, 즉 중복이 없다는 것. (↔같은것이 있는 순열)

 

한마디로 nPr은 '같은것이 없는 순열' 이라고 할 수 있겠습니다.

 

 

@같은것이 있는 순열

n개의 요소 중 중복이 있는 순열. 이것도 포인트를 짚어볼게요.

 

(1)중복순열과는 다른 느낌입니다. xxyz를 일렬로 나열하는 것은 같은것이 있는 순열이고, xyz 중 중복을 허용하여 4개를 뽑아 배열하는 경우의 수는 중복순열이에요. 중복순열은 xxyz가 나올 수도 있지만, xyyz가 나올 수도 있겠습니다.

(2)같은것이 있는 순열은, 같은것이 없다고 가정하여 nPr 계산 후 중복을 처리해주는 방식으로 계산할 수 있겠습니다.

 

 

조합으로도 풀어볼까요.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

스포주의

 

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@p, q

'2가 적혀 있는 카드는 4가 적혀 있는 카드보다 왼쪽에 나열'하는 상황을 해석해볼게요. 문제에서는 2->4 순서는 카운팅 하지만, 4->2 순서는 관심 없는 모양이에요. 2와 4의 순서관계는 2->4 또는 4->2 둘 뿐이니까, 전체 경우의 수를 2!으로 나누어 주면 되겠네요.

 

이렇게 생각할 수도 있지만, 2와 4를 같은 문자로 바꿔버려도 그 '경우의 수'는 달라지지 않을 것 같아요. 2, 4를 2->4 순서로 배열하는 것도 한가지, pp를 배열하는 경우의 수도 한가지로 같기 때문이에요.

 

같은 논리로 135 또한 하나의 문자로 바꿔버렸습니다. '순서가 결정'되어있기 때문에 가능한 이야기에요. 참고로, p와 q 대신 어떤 문자로 치환해도 상관 없겠습니다.

 

 

@조합

순열이 자리를 이리저리 바꿔가며 생각하는 관점이라면, 조합은 순서를 신경쓰지 않아도 되는 부분이 있는데요. 각 요소들이 들어갈 자리의 관점에서 보면 되겠네요. 함수에 빗대 설명해볼게요. 순열이 정의역의 관점에서 어디로 가지? 하면서 출발한다면, 조합은 공역의 관점에서 누가 먼저 드루올래 하는 느낌이에요.

 

자리 여섯개가 마련되어있네요. 6자리 중 p를 때려넣는 가짓수는 6C2, 남은 4자리 중 q가 들어가는 가짓수는 4C3, 남은 1자리 중 6이 들어가는 가짓수는 1C1.

 

이번에는 p가 아닌 q부터 들여보내고 싶어졌는데요. 어떤 순서로 집어넣든, 계산 결과는 같음을 알 수 있겠습니다.

 

 

 

오늘의 핵심 포인트는 '바꿔 생각해도 논리에 이상이 없을 때, 편한대로 바꾼다'는 내용이었는데요. 이는 '치환'과 같은 맥락이네요. 2^x=T로 치환하여 논리를 전개하면, 별 상관 없을 뿐만 아니라 오히려 더 편해지는 경우가 있는 것 처럼요.

>> [고등수학]치환

 

 

[더 보기]

 

>> [고3 수학]합의 법칙

>> [고3 수학]확률