[수학1]등차수열의 합01

[수학1]등차수열의 합01

 

안녕하세요!! 오늘은 온 우주의 기를 모아서 평균을 알아보겠습니다..! 엥? 등차수열의 합인데 웬 평균? 우선 평균에 관한 이야기부터 하나씩 시작해볼게요.

 

 

@대표값

대표값부터 알아볼게요. 대표값을 직역하면 대표하는 값 인데요. 여러가지 값들이 있는 집단에서, 그 값들을 대표하는 '하나의 값'이라고 생각하시면 돼요.

 

예를 들어볼게요. 제가 기말고사를 치르고 성적표를 받았어요. 국어 60점, 수학70점, 영어80점을 받았습니다. 그러면 국영수의 평균은 70점이 되는데요. [국어점수, 수학점수, 영어점수] 세 가지 값이 있는데, 이 점수집단을 평균점수라는 하나의 값으로 표현한거에요.

 

"저 국어60 수학70 영어80 음악60 미술70 체육80점 받았어요!!." 라고 말하면 복잡한 데 반해, "저 평균 70점이에요." 라고 말하면 깔끔하겠죠.

 

 

@평균

이번에는 평균에 대해 알아볼게요. 시험 점수 평균 내보셨으면 아실텐데요. 평균을 내는 방법 대신, 그 과정을 뜯어볼게요. 우주 어딘가에는 여러 값들이 있는 어떤 집단이 있어요. 그 집단에 속한 값들의 총합을 구한 후 평균을 내죠.

 

주목해야 할 부분은 '총합->평균'의 순서입니다. 평균의 정의는 '자료 전체의 합을 자료 전체의 갯수로 나눈 값' 인데요. 정의부터가 '총합->평균'의 순서입니다.

 

 

 

@평균의 활용1

오늘의 메인입니다. 사실 이걸 설명하려고 포스팅 하고있어요. 평균의 활용법. 바로 '평균->총합' 순서로 역이용하는 것입니다.

 

오잉? 다시한번 평균의 정의를 보시면, 평균이라는 말 자체가 총합이 있어야 하는데요. 총합 없이도 평균을 잡을 수 있는 케이스가 있고, 그 평균을 이용해서 총합을 구할 수 있습니다. 그 특수 케이스는 등차수열과 일차함수입니다.

 

 

 

@평균의 활용2

처음에 예를 들었던 국영수 점수로 시작할게요. 60 70 80. 이 점수의 평균은 70이죠. 70이라는 기준점에서 ±10인 값이 하나씩 있는게 보이시나요? 어떤 집단의 평균이 a라는 말은, 집단의 모든 값을 a로 바꿔도 합이 똑같다는 말이에요.

 

다시한번. [국어60 수학70 영어80]의 평균점수와 [국어70 수학70 영어70]의 평균점수는 같아요. 이게 평균을 활용하는 방식입니다. 확률과 통계 과목을 배울 때, 평균에 관해 이 관점을 잡고 계시면 좋을 것 같아요.

 

일차함수도 원리는 같아요. 일차함수를 적분한다고 해볼게요. 그래프를 그려보면 어떤 구간의 평균을 잡기가 쉬운데요. 그 평균을 잡아내어 모두 평균값으로 맞추고, 직사각형을 그리면 넓이를 구하는게 쉽고 빠르겠죠. 물리 시간에도 써먹을 수 있겠네요. 등가속도 직선운동 -> 속도 일차함수 -> 평균속도 -> 이동거리 계산.

 

 

@가중합

이제 진실을 말씀드릴게요. 사실 [국어60 수학70 영어80]과 [국어70 수학70 영어70]은 평균점수는 같지만 느낌이 달라요. 각 과목의 중요도가 같지 않기 때문인데요. 그 개념이 바로 가중합입니다.

 

국어가 3단위, 수학이 5단위, 영어가 4단위라고 하면 총합부터가 달라지는걸 확인할 수 있는데요. 이 느낌을 알고 있다면, 확률 문제에서 '하얀공이 2개고 검은공은 1개고 ...' 하는 상황을 이해할 수 있을거에요.

 

 

 

-한국 나무의 평균 귀여움-

 

등차수열 an에 대하여 a2, a5, a8의 평균은 a5 인데요. 두 가지 관점으로 생각할 수 있어요. 첫번째는, a5에서 a2와 a8과의 거리가 각각 같다는 것이에요. 두번째는 (a2+a8)/2 를 계산한 결과가 a5 임을 알 수 있겠습니다.

 

[더 보기]

 

>> [고2 수학] - 등차수열의 합02

>> [고1 수학] - 합성함수01